用途
该技能用于测度论中与 σ-代数（sigma algebra）相关的问题求解，适合需要验证 σ-代数结构、构造生成 σ-代数、检验函数可测性或处理乘积 σ-代数等任务。
主要能力
技能以决策树形式组织解题流程，覆盖以下方面：
σ-代数公理验证
- 验证全集 X 属于 F（整个空间可测）
- 验证 A 属于 F 蕴含 A 的补集属于 F（对补集封闭）
- 验证 A_n 属于 F 蕴含并集属于 F（对可数并封闭）
- 对应工具命令：
uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "sigma_algebra_axioms"
σ-代数生成
- 从生成集 C 出发
- σ(C) 是包含 C 的最小 σ-代数
- 使用 Dynkin 的 π-λ 定理处理唯一性
- 对应工具命令：
uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "pi_system_subset_lambda implies sigma_equal"
可测性验证
- 若对所有 Borel 集 B 有 f^{-1}(B) 属于 F，则 f 可测
- 充分条件：只需检查开集或区间
- 对应工具命令：
uv run python -m runtime.harness scripts/sympy_compute.py simplify "preimage(f, interval)"
乘积 σ-代数
- F1 × F2 = σ{A × B : A 属于 F1, B 属于 F2}
- 投影是可测的
使用方式
技能附带工具命令，通过命令行调用：
- Z3_Sigma_Axioms：
uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "X_in_F and closed_under_complement and closed_under_countable_union" - Z3_Dynkin_Pi_Lambda：
uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "pi_system_subset_lambda implies sigma_equal" - Sympy_Preimage：
uv run python -m runtime.harness scripts/sympy_compute.py simplify "f_inv(A_union_B) == f_inv(A) | f_inv(B)"
完整工具文档参见 .claude/skills/math-mode/SKILL.md。
关键技术要点（来自 indexed textbooks）
- σ-代数（或 Borel 域）是满足三条性质的子集族：空集属于 B；对补集封闭；对可数并封闭。
- S × T 是包含可测矩形的最小 σ-代数；在某些情况下，难以验证具有所需性质的集族是否为 σ-代数。
- 同一空间可存在多个不同的 σ-代数，例如仅含 {空集, S} 的平凡 σ-代数。
- 若 F 是 X 上子集族，所有包含 F 的 σ-代数之交 A 也是一个 σ-代数且包含 F，并且是包含 F 的最小 σ-代数。
- 关于由可数集或其补集为可数集构成的集族 M 上的测度定义示例，考察该测度空间是否完备。
适用场景与限制
适用于测度论中 σ-代数相关的公理验证、生成、可测性检验与乘积构造问题。技能资料未提供关于适用范围以外的信息，未提及收费、价格、平台或效果等具体细节，相关内容暂未提供。