用途
该技能用于处理常微分方程与偏微分方程（odes pdes）领域中的二阶常微分方程（second-order ODEs）问题，提供一套从分类到求解的决策流程与策略。
主要能力
技能以决策树方式引导使用者对二阶 ODE 进行分类：
- 常系数方程：ay'' + by' + cy = f(x)
- 变系数方程：y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x)
- Cauchy-Euler 方程：x^2 y'' + bxy' + cy = 0
针对常系数齐次方程，技能给出特征方程 ar^2 + br + c = 0 及三种根情形对应的解形式：
- 相异实根：y = c1e^{r1x} + c2e^{r2x}
- 重根：y = (c1 + c2x)e^{rx}
- 复根 a ± bi：y = e^{ax}(c1cos(bx) + c2sin(bx))
针对非齐次方程，技能涵盖求特解的方法：待定系数法（根据 f(x) 猜测形式）与参数变易法（y_p = u1y1 + u2y2）。
技能还涉及数值解法：将二阶方程转换为一阶系统（令 v = y'，则 v' = y''），使用 solve_ivp(system, [t0, tf], [y0, v0]) 求解；以及边值问题，采用打靶法（猜测初始斜率并迭代）或 scipy.integrate.solve_bvp(ode, bc, x, y_init)。
使用方式
技能提供配套工具命令示例：
- 数值求解一阶系统： uv run python -c "from scipy.integrate import solve_ivp; sol = solve_ivp(lambda t, Y: [Y[1], -Y[0]], [0, 10], [1, 0]); print('y(10) =', sol.y[0][-1])"
- 求解特征多项式： uv run python -m runtime.harness scripts/sympy_compute.py solve "r**2 + r + 1" --var r
- 用 dsolve 求解二阶方程： uv run python -m runtime.harness scripts/sympy_compute.py dsolve "Derivative(y,x,2) + y"
技能文档还引用了 .claude/skills/math-mode/SKILL.md 作为完整工具文档的参考。
适用场景
适用于需要求解二阶常微分方程的数学、工程与科学计算任务，包括解析求解（常系数齐次与非齐次、变系数、Cauchy-Euler）与数值求解（初值问题、边值问题）。
限制
资料中未提供该技能的收费、价格、平台支持范围或具体效果等信息。