用途：处理拓扑学中的紧致性问题，指导判断空间 X 是否紧致，并给出对应的计算与验证手段。
主要能力与判定思路：
- 若 X 是 R^n 的子集，用 Heine-Borel 判断是否既闭又有界。
- 若 X 是度量空间，检查是否每个序列都有收敛子序列（序列紧致）。
- 一般情形：检查每个开覆盖是否都有有限子覆盖。
- 乘积空间：Tychonoff 定理表明紧致空间的乘积仍紧致；有限乘积直接保持紧致性。
紧致性的推论：
- 紧致空间的连续像是紧致的。
- 紧致集上的连续实函数可取到最大值与最小值。
可用命令（保持原样）： uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "bounded_and_closed" uv run python -m runtime.harness scripts/sympy_compute.py limit "a_n" --var n --at oo uv run python -m runtime.harness scripts/sympy_compute.py maximum "f(x)" --var x --domain "[a,b]"
也可用 z3_solve.py prove "bounded_and_closed" 验证闭且有界，用 sympy_compute.py limit "a_n" --var n 检查序列收敛。
限制：资料仅列出上述定理、推论与命令，未提供安装步骤、收费信息或更完整的工具文档；完整工具文档参见 .claude/skills/math-mode/SKILL.md。