概率论是描述不确定性的数学语言，也是全部统计推断的公理化基础：没有概率，就没有假设检验、置信区间、贝叶斯更新和回归。本技能覆盖从样本空间到中心极限定理的核心内容。
【用途与定位】 为统计推断与概率建模提供数学基础，涵盖样本空间、事件、公理、条件概率、贝叶斯定理、独立性、随机变量、分布、期望、方差与极限定理。资料标注的相关方向包括：贝叶斯（条件概率、贝叶斯定理）、Pearson（分布理论）、Efron（计算概率）。概念 ID 为 stat-probability-foundations、stat-experimental-theoretical、stat-expected-value、stat-conditional-probability。
【公理与样本空间】 Kolmogorov 公理：非负性 P(A) >= 0；归一化 P(S) = 1；可列可加性，互斥事件 A_1, A_2, ... 满足 P(A_1 union A_2 union ...) = P(A_1) + P(A_2) + ...。概率中的一切均由这三条公理加集合论推出。样本空间 S 是随机试验所有可能结果的集合；事件 A 是 S 的子集；补事件 A^c 满足 P(A^c) = 1 - P(A)；空事件概率为 0。等可能情形下 P(A) = |A| / |S|，需要计数工具：乘法原理、排列 n!/(n-k)!、组合 C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)。
【条件概率与贝叶斯定理】 定义：P(A | B) = P(A intersect B) / P(B)，要求 P(B) > 0。乘法规则：P(A intersect B) = P(A | B) * P(B) = P(B | A) * P(A)；三事件形式为 P(A)P(B|A)P(C|A intersect B)。全概率公式：若 B_1,...,B_n 构成 S 的划分，则 P(A) = sum_i P(A | B_i) * P(B_i)。贝叶斯定理：P(B_j | A) = P(A | B_j) * P(B_j) / P(A)。术语：先验 P(B_j)、似然 P(A | B_j)、后验 P(B_j | A)、边际似然 P(A)。
算例：某病患病率 1%，检测灵敏度 95%、特异度 90%。阳性后患病概率 = (0.95)(0.01)/[(0.95)(0.01)+(0.10)(0.99)] = 0.0095/0.1085 ≈ 0.0876，约 8.8%。这体现基础比率谬误：疾病罕见时，即便检测良好，假阳性也远多于真阳性。
【独立性】 A 与 B 独立当且仅当 P(A intersect B) = P(A) * P(B)，等价于 P(A | B) = P(A)。n 个事件相互独立需要全部 2^n - n - 1 个子集乘积条件，仅两两独立不够。常见错误：事件有共同原因时假设独立；不放回抽牌会造成抽取间的依赖。
【随机变量与分布】 离散随机变量的概率质量函数 p(x) = P(X = x)。资料列出常见分布及其参数、均值、方差与适用情形：伯努利（p；均值 p，方差 p(1-p)；单次是/否试验）、二项（n, p；np，np(1-p)；n 次独立试验的成功数）、几何（p；1/p，(1-p)/p^2；首次成功前的试验数）、泊松（lambda；lambda，lambda；固定区间内稀有事件计数）、超几何（N, K, n；nK/N；不放回抽样）。连续随机变量的概率密度函数 f(x) 满足 P(a <= X <= b) 为 f 在 [a,b] 的积分：均匀（a,b；(a+b)/2，(b-a)^2/12）、正态（mu, sigma；mu，sigma^2；大量独立效应之和，CLT）、指数（lambda；1/lambda，1/lambda^2；泊松事件间隔时间）、t 分布（df；df>1 时均值 0，方差 df/(df-2)；小样本、sigma 未知）、卡方（df；df，2df；标准正态平方和）。累积分布函数 F(x) = P(X <= x)。
【期望、方差与极限定理】 E(X) 为离散求和或连续积分；线性性 E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) 始终成立，无需独立。Var(X) = E[(X - mu)^2] = E(X^2) - [E(X)]^2；独立时 Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)，一般情形需加 2Cov(X, Y)。Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)，Corr 为协方差除以两标准差之积。大数定律：样本量 n 增大时样本均值收敛于总体均值（弱：任意 epsilon > 0，P(|X-bar - mu| > epsilon) -> 0；强：P(X-bar -> mu) = 1）。中心极限定理：独立、均值 mu、有限方差 sigma^2 时，(X-bar - mu)/(sigma/sqrt(n)) 依分布收敛于 N(0,1)；资料给出实用经验为 n >= 30 通常够用，但取决于母分布形状，偏斜越大所需 n 越大。
【常见错误】 混淆 P(A|B) 与 P(B|A)（检察官谬误），应显式应用贝叶斯定理；无依据假设独立，应写明并验证独立性假设；对非互斥事件直接相加概率，应使用容斥 P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)；忽略基础比率，应通过贝叶斯定理纳入先验；对小 n 套用 CLT，应改用精确分布或 t 分布。
【限制与关联】 资料为数学教育性内容，未说明独立软件、安装方式、平台或收费信息，暂未提供。关联方向包括贝叶斯推理与概率建模、分布理论与卡方检验、计算概率（模拟、bootstrap），以及描述统计、推断统计和贝叶斯方法等技能。参考资料：Ross《A First Course in Probability》第 10 版；Blitzstein & Hwang《Introduction to Probability》第 2 版；Kolmogorov《Foundations of the Theory of Probability》（1933）；Feller《An Introduction to Probability Theory and Its Applications》第 1 卷。