用途与定位 本技能用于把统计方法系统地应用到金融数据上，覆盖描述性统计、协方差估计、回归、假设检验和重采样。典型使用场景是给定收益率序列或基金与市场的汇总统计量，按固定流程完成从描述到推断的分析，并输出可解释、可复核的结论。资料中给出标准分析工作流、worked examples、常见陷阱和可执行脚本。
主要能力与约定
- 描述性统计与年化。样本方差与标准差用 n-1（贝塞尔校正），除以 n 会系统性低估离散度。收益率标准差即“波动率”，年化公式为 sigma_annual = sigma_period * sqrt(periods_per_year)，例如月度乘 sqrt(12)，日度乘 sqrt(252)。
- 正态性检验。Jarque-Bera 统计量 JB = (n/6) * (skew^2 + excess_kurtosis^2 / 4)，原假设为正态时服从自由度2的卡方分布，5%临界值为5.99。文档特别提示低功效问题：样本小于约50时，即使数据明显非正态JB也常无法拒绝，未拒绝只是弱证据；大样本下金融收益序列因厚尾（股票还有负偏度）几乎总被拒绝。应把该检验当作筛查，并同时查看偏度、峰度的实际大小和极端观测。
- 协方差估计与Ledoit-Wolf收缩。样本协方差矩阵 Sigma_hat = (1/(n-1)) (X - X_bar)^T (X - X_bar)，当资产数p接近观测数n时病态甚至奇异，直接用于均值-方差优化会产生极端且随数据微小变化而翻转的权重。收缩方法为 Sigma_hat_shrunk = delta * F + (1 - delta) * Sigma_hat，其中F为目标矩阵（如缩放单位阵），delta为收缩强度；Ledoit-Wolf (2004) 给出使期望平方Frobenius距离最小的delta，用少量偏差换取方差大幅下降，得到条件更好、可逆的矩阵和更稳定的组合权重。资料注明：随附脚本的 shrunk_covariance 实现的是简化收缩强度估计，并非完整Ledoit-Wolf估计器；生产环境应使用 sklearn.covariance.LedoitWolf。
- 回归诊断（CAPM与因子模型）。单因子CAPM回归 R_i - R_f = alpha + beta * (R_m - R_f) + epsilon，其中 beta = rho * sigma_i / sigma_m（市场敏感度），alpha为风险调整后超额收益；单因子回归中 R^2 = rho^2。系数用t统计量判断，t = 系数 / 标准误，自由度n-2下 |t| 约大于2表示5%显著；alpha点估计为正但 |t| < 2 不构成技能证据。增加回归元总会提高R²，应使用调整R²、AIC/BIC或交叉验证防止过拟合。
- 自助法（Bootstrap）。当解析标准误不可得（如夏普比率、alpha）、分布非正态或样本较小时，从原始n个观测有放回抽取B个大小为n的重采样（B=1000-10000），在每个重采样上计算统计量；百分位法下，(1-alpha)置信区间为自助分布的alpha/2与1-alpha/2分位数，自助标准误为B个统计量的标准差。注意i.i.d.自助忽略自相关与波动率聚集，序列相关的收益序列应使用分块自助（block bootstrap）。
使用方式与分析流程 给定收益率序列按以下顺序执行：先用均值、波动率（n-1）、偏度、超额峰度做描述性统计并做报告年化；再做分布检查（Jarque-Bera并留意低功效，检查偏度/峰度量级与最大离群点），判断基于正态的方法（参数VaR、t检验）是否站得住；多资产时计算样本协方差与相关矩阵，若p相对n较大，优化前先做收缩；然后做回归诊断（CAPM或因子回归），报告alpha/beta及t统计量和R²，并检查残差结构；最后对没有干净解析标准误的统计量（夏普、alpha、回撤）用自助法给出置信区间，而非只报点估计。
算例 例1：12个月收益率(%)为 [2.1, -0.5, 1.8, -3.2, 4.5, 0.3, -1.1, 2.7, -0.8, 3.4, 1.2, -0.6]。均值 = 9.8/12 = 0.8167%每月（简单乘12约9.8%年化）；s^2 = 52.977/11 = 4.816，s = 2.195%每月；年化波动率 = 2.195% * sqrt(12) = 7.60%；偏度 = -0.045（偏差校正，近似对称）；超额峰度 = -0.42（偏差校正，尾部比正态略轻）；JB = (12/6) * ((-0.045)^2 + (-0.42)^2 / 4) = 0.09，小于5.99（df=2卡方5%临界），未能拒绝正态性；但仅12个观测，检验功效很低，这不构成收益真的正态的证据。 例2：24个月观测。基金超额收益均值0.8%、标准差4.2%；市场超额收益均值0.6%、标准差3.8%；相关系数0.85。beta = 0.85 * 4.2 / 3.8 = 0.939；alpha = 0.8% - 0.939 * 0.6% = 0.236%每月（约2.84%年化）；R² = 0.7225；残差标准差 = 4.2% * sqrt(1 - 0.7225) = 2.213%；SE(alpha) = 2.213%/sqrt(24) = 0.452%，t(alpha) = 0.236/0.452 = 0.52；SE(beta) = 2.213%/(3.8% * sqrt(23)) = 0.121，t(beta) = 0.939/0.121 = 7.74。22自由度下5%双尾临界t为2.074；beta高度显著（7.74远大于2.074），alpha不显著（0.52小于2.074），即尽管点估计为正，样本无法把它与零区分。
脚本与运行 scripts/statistics_fundamentals.py 提供 StatisticsFundamentals 类，静态方法包括 descriptive_stats、covariance_matrix、correlation_matrix、shrunk_covariance（简化Ledoit-Wolf，见上述说明）、ols_regression、rolling_regression、bootstrap_mean、jarque_bera_test。运行：uv run scripts/statistics_fundamentals.py（PEP 723内联元数据会解析numpy与scipy），或在已安装numpy/scipy时用 python3 scripts/statistics_fundamentals.py。直接调用（或加 --verify）会在合成数据上打印演示，并断言例1的数值（12个月序列的均值0.8167、标准差2.195、JB 0.09），不匹配则非零退出；--help 列出可用方法及导入用法。程序化使用应导入而非运行：from statistics_fundamentals import StatisticsFundamentals，再调用如 StatisticsFundamentals.descriptive_stats(...)。
常见陷阱 用总体方差而非样本方差（估计时应始终用n-1）；假设正态而忽视厚尾（股票收益常见负偏度和正超额峰度，标准VaR等正态模型会低估尾部风险，宜用Student-t或非参数方法）；忽略非平稳性（收益分布随时间变化，存在体制转换与波动率聚集，滚动窗口或GARCH可能比全样本统计更合适）；回归元过多导致过拟合（R²总随因子增加上升，应用调整R²、信息准则或交叉验证）；小样本下协方差矩阵不稳定（p接近或超过n时，优化前应用Ledoit-Wolf收缩或因子协方差模型）。
与其他技能的关联 return-calculations（core插件）：算术与几何平均收益、用于统计建模的对数收益；time-value-of-money（core插件）：通过CAPM回归估计折现率，NPV与IRR使用统计输入；factor-investing（wealth-management插件）：把单因子CAPM/OLS回归扩展到Fama-French多因子模型用于alpha归因和基金评价；financial-statements（wealth-management插件）：把描述性统计与趋势分析应用到财务比率和同业比较。
限制 本资料未提供关于收费、价格、平台支持范围或具体性能效果的信息；除上述脚本运行方式外，未给出其他安装步骤或集成方式。